Distribuição de Frequências Para Dados Qualitativos

Autores: Alberto, Antônio, Dalton, Erick, Heleno, João Paulo.

Neste tema será apresentado as formas de identificação e frequência de dados qualitativos. Por exemplo, o estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, pode assumir as categorias: solteiro, casado, viúvo e divorciado.

A análise de dados qualitativos pode se feita através de dois métodos – o tabular e/ou o gráfico.

Métodos Tabular:

• Distribuição de frequências;
  
• Distribuição de frequência relativa;
  
• Distribuição de frequência percentual.
  

Métodos Gráficos

• Gráfico de barras;
• Gráfico de pizza.
  

1.Conceitos Básicos.

O Dado Qualitativo:

Ø É a representação simbólica atribuída a manifestação de um evento qualitativo;

Ø Representa a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades;

Ø É uma forma de quantificação de um evento qualitativo que confere um caráter objetivo à sua observação;

Ø Se refere a nomes ou rótulos e podem se dividir em nominais e ordinais, LAPPONI;

Ø É uma estratégia de classificação de um fenômeno aparentemente improvável;

Frequência:

Ø É o número de repetições de uma variável;

Ø Frequência relativa - é o resultado da divisão da frequência pelo tamanho da amostra, LAPPONI.

Distribuição de Frequência:

Ø É um sumário tabular de dados que mostra a freqüência ( ou o número) de observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas, ANDERSON;

2.APLICAÇÃO: A aplicação de frequências se mostra importante quando queremos determinar o número ou a pocentagem de uma determinada variável em uma amostra. Além disso nos proporciona uma melhor forma de visualização de um conjunto de informações, principalmente quando se tem um grande número de dados.

3.EXEMPLO:

Em uma turma de Estatística estudam 61 alunos dos cursos de Administração e Ciências Contábeis, Apartir da lista de presença da 2ª unidade/2009, foi identificado qual o curso que cada integrante desta turma pertence e o sexo.

Variáveis:

• Sexo;
• Curso.

Com base nesses dados, quer saber quantas pessoas do sexo masculino e feminino o grupo é formado e o curso o qual pertencem. Para isso serão feitas duas distribuições de freqüências (tabelas), uma para a variável SEXO e outra para variável Curso.

O processo de construção da distribuição de freqüência (tabela) para variáveis qualitativas é feita através da identificação e contagem do valores apresentados em cada variável.

Ø Identificação dos Valores e Tamanho da Amostra:

Tamanho da Amostra:

o 61 estudantes

Variáveis:

o FEMININO :23 estudantes

o MASCULINO :38 estudantes

o CONTABILIDADE: 26 estudantes

o ADMINISTRAÇÃO: 35 estudantes

Tem-se a seguinte distribuição de freqüência para variável SEXO :

Tabela de Frequência para a variável sexo para a turma de Estatística

Da mesma forma se procede para a variável Curso:

Tabela de Frequência para a variável curso para a turma de Estatística

O cáculo da Freqüencia Relativa é realizada da seguinte maneira

Fórmula:

FR = Frequência / TOTAL = x 100

o FR sexoM = 38/61 x 100 = 62%

o FR sexo F = 23/61 x 100 = 38%

o FR curso Contabilidade = 26/35 x 100 = 43%

o FR curso Administração = 35/61 x 100 = 57%

Agora queremos saber a frequência de homens e mulheres para o curso de Administração, para o curso de Contabilidade e para a turma de Estatística.

Tamanho da Amostra:

• o Contabilidade: 26 estudantes
  
• o Administração: 35 estudantes
  
• o Turma de Estatística: 61 estudantes
  

Variáveis:

• o Nº de mulheres no curso de Contabilidade: 07
  
• o Nº de homens no curso de Contabilidade: 19
  
• o Nº de mulheres no curso de Administração: 16
  
• o Nº de homens no curso de Administração: 19
  

Tabela de Frequência para a variável sexo (masculino/feminino)nocurso de Contabilidade

Através da análise das tabelas de frequências acima se percebe que o curso de Contabilidade apresenta 27% de estudantes do sexo Feminino e 73% do sexo masculino.O curso de Administração 46% do sexo Feminino e 54% do sexo Masculino.

Com relação a turma de Estatística do total de 23 mulheres 70% são do curso de Administração e 30% apenas do curso de Contabilidade.

4.REFERÊNCIAS:

· Anderson, David R.. Estatística aplicada a adiministração, editora Thonson.

• Barbosa, Fernando Kauffmann. Data do acesso: 28/04/2009, http://www.fernandokb.pro.br

• Índice Geral. Data do acesso:04/05/2009, http://alea.ine.pt/html/nocoes/html/cap1_1_0.html
• Lapponi, Juan Carlos. Estatística usando o exel, 4ª edição, editora Campos.

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Autores: Alisson, Diogo, Fernando, José Flávio, Veonice

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Definição

Curva matemática usada na estatística e na simulação de resultados para representar a probabilidade de que determinado evento ocorra, quando a probabilidade média é conhecida.

Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrências sobre um intervalo de tempo ou espaço específicos.
A distribuição de Poisson foi descoberta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento.
=> Propriedades do experimento Poisson:
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dos intervalos de tempo - não existe nenhuma região ou espaço com maior probabilidade que a outra.
Quase não existe nenhuma probabilidade de acontecer mais de uma ocorrência num mesmo ponto - aproximadamente zero.
A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da ocorrência ou não-ocorrência em qualquer intervalo - uma ocorrência não interfere na outra.
Exemplos
- Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia- Erros tipográficos por página,em um material impresso- Defeitos por unidade (m2,m, etc) por peça fabricada - Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade- Problemas de filas de espera
Suponha que é observado o número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.A probabilidade de um carro chegar é a mesma para quaisquer dos períodos de tempo de igual comprimento.A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo é independente da chegada ou não chegada de um outro carro em qualquer outro período de tempo.
Função de Probabilidade de Poisson
Uma variável aleatória de Poisson não tem limites. x = 0,,1,2,3,…
P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo
λ= valor esperado ou número médio de ocorrências em um intervalo
e = 2,71828
Média: E(X) = λ
Variância: Var(X)= λ
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Postagens mais antigasQuarta-feira, 6 de Maio de 2009

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Postado por DISTRIBUIÇÃO DE POISSON às 21:31
Definição
Curva matemática usada na estatística e na simulação de resultados para representar a probabilidade de que determinado evento ocorra, quando a probabilidade média é conhecida.
Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrências sobre um intervalo de tempo ou espaço específicos.
A distribuição de Poisson foi descoberta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento.
=> Propriedades do experimento Poisson:
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dos intervalos de tempo - não existe nenhuma região ou espaço com maior probabilidade que a outra.
Quase não existe nenhuma probabilidade de acontecer mais de uma ocorrência num mesmo ponto - aproximadamente zero.
A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da ocorrência ou não-ocorrência em qualquer intervalo - uma ocorrência não interfere na outra.
Exemplos
- Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia- Erros tipográficos por página,em um material impresso- Defeitos por unidade (m2,m, etc) por peça fabricada - Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade- Problemas de filas de espera
Suponha que é observado o número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.A probabilidade de um carro chegar é a mesma para quaisquer dos períodos de tempo de igual comprimento.A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo é independente da chegada ou não chegada de um outro carro em qualquer outro período de tempo.
Função de Probabilidade de Poisson
Uma variável aleatória de Poisson não tem limites. x = 0,,1,2,3,…
P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo
λ= valor esperado ou número médio de ocorrências em um intervalo
e = 2,71828
Média: E(X) = λ
Variância: Var(X)= λ
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Estatística como ferramenta na Ciências Contábeis

Autores: Camila, Deyrise, Madson, Nataniele, Wanessa

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

No campo da contabilidade, muitas vezes, o contabilista não consegue tomar decisões usando apenas as analises qualitativas. Para suprimir esta necessidade, utiliza-se a técnica de amostragem, mas, mesmo assim, em muitos casos existe a necessidade do profissional analisar a população como um todo para emitir a sua opinião nas demonstrações contábeis.
Diante das dificuldades impostas neste campo de conhecimento, tornou-se indispensável a aplicação de uma metodologia cientifica, que relacionasse a contabilidade a estatística. Esta aplicação chama-se CONTABILOMETRIA.

CONCEITO

A contabilometria oferece métodos quantitativos (matemática, estátistica) aplicados a contabilidade, proporcionando técnicas para organizar, resumir, planejar e tomar decisões em muitos relatórios financeiros de uma entidade.

APLICAÇÕES DA CONTABILOMETRIA

Principais instrumentos matemáticos aplicados na contabilometria:
· Amostragem- Permite a verificação da qualidade de produtos numa empresa.
· Analise de regressão- é utilizada para o propósito de previsão financeira.
· Programação multiobjetiva ou Goal Programing- Técnica que permite a modelagem e busca de soluções para os problemas numa empresa, com objetivos e metas a serem otimizados.

EXEMPLO:

Com base na analise de regressão, é preciso estimar os coeficientes a e b da seguinte reta de regressão:
Y = a + bX,
Onde:
X = nível da atividade (variável independente);
Y = custo misto total (variável dependente);
a = custo fixo total (interseção vertical da reta);
b = custo variável por unidade de atividade;
n = número de observações.
Os coeficientes a e b são determinados pelas seguintes fórmulas:

Resolvendo o problema com o auxílio da programa Excel, obtém-se o seguinte resultado:

A parte fixa do custo é de $3.430,90. Houve uma analise onde o custo varia na ordem de $0,7589 por paciente-dia, para cada paciente-dia adicional, o custo aumenta em $0,7589.


REFERÊNCIAS

http://www.contabeis.ucb.br/sites/000/96/00000127.pdf
http://www.congressoeac.locaweb.com.br/artigos22005/333.pdf
http://www.intercostos.org/documentos/lira.pdf

Distribuição de Frequência para Dados Quantitivos

Autores: Fernanda Queiroz, Juliana Montenegro, Poliana Silva, Rafael dos Santos, Simone de Araujo

1. Considerações Iniciais
Segundo Silva et al. (p.18, 2006), um dos objetivos da Distribuição de Frequência é diminuir o número de dados que serão trabalhados de modo direto, “modificando a forma de apresentação desses dados”. Através deste mecanismo da Estatística, pode-se reorganizar os dados e agrupá-los de forma que o observador, seja ele quem for, consiga identificar o que eles (os dados) desejam transmitir, sem maiores dificuldades.
Com o desenvolver deste trabalho serão explicados alguns conceitos fundamentais ao entendimento do assunto, será identificado como é feita a Distribuição de Frequência em dado Quantitativos, e o conhecimento exposto, por fim, será demonstrado através de exemplos práticos.

2. Conceitos Importantes:
Dados - são fatos e/ou números coletados, observados e resumidos para serem mostrados e entendidos.
Dados Quantitativos - os dados coletados são números que representam quantidades.
Tabela Primitiva - de acordo com Crespo (p.54, 2005), é a “tabela cujos elementos não foram numericamente organizados”.
Distribuição de frequência - modo de visualizar os dados de forma agrupada (dividido em grupos), não considerando valores individuais, distribuindo-os em classes e mostrando a quantidade de dados em cada classe.

3. Passo a passo para Distribuir Frequência de dados Quantitativos:
Determina-se o número de classes - classes são intervalos onde serão agrupados os dados. Para determinar o número de classes, basta tirar a raiz quadrada da quantidade de dados em questão. O resultado deve estar entre 5 e 20, e caso sejam encontrados valores decimais, deve-se arredondar para o próximo número inteiro.

Determina-se a largura das classes - largura ou amplitude da classe “é a distância entre os limites inferiores (ou superiores) de classes consecutivas” (LARSON & FARBER, 2006, pag. 26). Largura também representa a quantidade de dados que estarão embutidos em cada classe. Para defini-la, basta subtrair o maior valor pelo menor e dividir o resultado pelo número de classes. Também arredonda-se para o próximo número inteiro, caso o valor encontrado seja fracionário.

Determinam-se os limites das classes - “De acordo com seu tamanho, cada intervalo de classe tem um limite superior e um limite inferior” (LEVIN, 1987, pags. 22 e 23). Limite é o valor a partir do qual uma classe abrangerá e até onde ela o fará. Steverson (pag. 33, 1981) disse que “é importante que não ocorram lacunas na fixação de classes”, ou seja, os limites devem ser definidos de forma que cada valor do conjunto de dados pertença apenas a uma classe.

Definidos o número de classes, a largura e o limite de cada classe, agora é só contar quantos elementos terá em cada classe. Isso é uma Distribuição de Frequência.

4. Aplicando o conhecimento.
Ex 001: Foram coletadas as alturas (em cm) dos estudantes de Ciências Contábeis da Fit's do terceiro Período Noturno.


Determine o número de classes, a largura e o limite de cada classe e depois faça a distribuição de frequência.

Resposta:
Nº de classes: √28 = 5,291502... => 6
Largura: (183 – 149) / 6 = 5,6666... => 6
Limites:
148 ├ 155
155 ├ 162
162 ├ 169
169 ├ 176
176 ├ 183
183 ├ 190



Ex 002: Foram coletadas as idades dos estudantes de Ciências Contábeis da Fit's do terceiro Período Noturno.


Determine o número de classes, a largura e o limite de cada classe e depois faça a distribuição de frequência.

Resposta:
Nº de classes: √28 = 5,291502... => 6
Largura: (43 – 18) / 6 = 4,1666... => 5
Limites:
13 ├ 19
19 ├ 25
25 ├ 31
31 ├ 37
37 ├ 43
43 ├ 49


5. Considerações Finais
Com esse tipo de organização dos dados ganha-se simplicidade, entretanto perdem-se detalhes, ou pormenores. No caso do último exercício (ex 002), por exemplo, não é possível mais saber quantos alunos possuem exatamente 19 anos, sabe-se apenas quantos possuem entre 19 e 25 anos. O que é justificado por Crespo (p.56, 2005) ao dizer que “a estatística tem por finalidade analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados”.

6. Referências
Aula01. Disponível em : <http://www.pucrs.br/famat/rossana/psicologia/Aula1_dados_Estatistica.pdf> Acesso em: 05/05/2009.

Distribuição de frequência.Disponível em: <http://www.cis.udel.edu/~portnoi/classroom/prob_estatistica/2007_1/lecture_slides/aula04.pdf > Acesso em: 05/05/2009.

SILVA, Ermes Medeiros da et al. Estatística para os cursos de Econômia, Administração e Ciências Contábeis. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2006.

LARSON, Ron & FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 2. Edição, São Paulo: Ed. Person Prentice Hall, 2006.

LEVIN, Jack. Estatística aplicada a Ciências humanas. 2. Edição. São Paulo: Editora Harbra, 1987.

STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: ed. Harbra, 1981.

CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 18. Edição. São Paulo: Ed. Saraiva, 4. Tiragem, 2005.

Distribuição Exponencial de Probabilidade

Autores: Olívio, Osiel, Alberto e Édipo

Introdução

Uma distribuição exponencial de probabilidade que é muito útil para descrever o tempo que se leva para completar uma tarefa, podendo descrever o tempo entre a chegada de um motoboy a casa do cliente, o tempo exigido para alguma tarefa dentro de uma fabrica, podendo assim ser aplicado em qualquer área aonde exista a necessidade de identificar tempos percorridos ou ate variações de maiores erros.


A Função de Densidade Exponencial da Probabilidade

f (x) =1/µ e –x/µ para x ≥ 0 , µ ≥ 0


Exemplo

Para um melhor entendimento daremos um exemplo, vamos considerar que o tempo médio para encher uma caixa d água segue uma tal distribuição, Se o tempo médio para encher uma caixa d água seja de 20 minutos (µ = 20) a função ficaria assim.


f (x) = 1/20 e -x/20


Como qualquer distribuição de probabilidade a área sob a curva que corresponde a um intervalo fornece a probabilidade de que a variável aleatória assuma qualquer valor naquele intervalo, no exemplo da caixa d água a probabilidade de enchimento da caixa seja 8 ou menos (x ≤ 8) esta definida como área de x =0 ate x = 8 sob a curva como podemos ver no gráfico. A probabilidade de que o enchimento de uma caixa de d água levara 15 minutos ou menos (x ≤ 15) é a área de x = 0 ate x = 15 sob a curva. Também podemos observar que a probabilidade do enchimento da caixa levara entre 8 minutos e 15 minutos (8≤x≤15) é dada pêra área de x= 8 ate x = 15 sob a curva. E para calcular probabilidades exponenciais usamos a formula a seguir.




Probabilidade da Distribuição Exponencial


P(x ≤ xo) 1 - e –xô/ µ

No exemplo o enchimento de uma caixa d água de forma aplicada ficaria desta forma


P(tempo de enchimento ≤ xô) = 1 – e –xo/20


Portanto a probabilidade de que o enchimento dure 8 minutos ou menos (x ≤ 8).


P(tempo de enchimento ≤ 8) = 1 – e –8/20=0,3297


Bibliografia. Estatística Aplicada a Administração e Economia
Autor: Anderson Sweeney Williams

Distribuição Normal

Autores: Saul, Jeane, Núbia, Beatriz, Marcelo

INTRODUÇÃO
A Distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana, Sem dúvida já conhecida de alguns leitores como a “curva em forma de sinto”. Foi desenvolvida pelo matemático francês Abraham de Moivre. O estudo do problema dos erros de medida levou à introdução da curva que, mais tarde, recebeu o nome de curva normal.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de Média e Desvio Padrão ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma Normal.

As principais características da distribuição normal são:
1. A média da distribuição é µ
2. O desvio-padrão é σ
3. A moda ocorre em x=µ
4. A curva é simétrica em relação a um eixo vertical passado por x=µ

APLICAÇÃO
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provem do Teorema Central do Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).

EXEMPLOS
Um exemplo bastante próximo de todos sobre como a curva de distribuição normal ajuda a definir padrões esperados é a pressão arterial. Quando o médico infla a almofada em nosso braço, lê o manômetro e nos informa que o resultado é 12 por 8, nos sentimos aliviados.Alguém já se perguntou, porém, por que 12/8 e não qualquer outro resultado é considerado padrão de normalidade deste parâmetro médico?

A resposta é simples: as curvas de distribuição normal para a pressão arterial sistólica e diastólica tendem a concentrar seus resultados em torno de 120 e 80 mmHg, respectivamente.

Outras aplicabilidade da Distribuição Normal
1. A vida média de certo aparelho é de 8 anos,com d.p. de 1,8 ano. O fabricante substitui os aparelhos que causam defeito dentro do prazo de garantia.Se ele deseja substituir no máximo 5% dos aparelhos que apresentem defeito,qual deve ser o prazo de garantia?
Solução: a condição do problema é que, de todos os aparelhos defeituosos, apenas 5 % tenham apresentado defeito dentro o prazo de garantia. Se esse prazo é de x anos a contar da data da compra, 5% das incidências de defeito devem ocorrer em um prazo menor do que x. Ora, a probabilidade 0,05 corresponde ao valor z= -1,645.
Então, o prazo de garantia x se obtém como se segue:

2. Uma empresa usa anualmente milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acesas continuamente, dia e noite. A vida de uma lâmpada pode ser considerada uma v.a. normal,com média de 50 dias e d.p. de 15 dias.Em 1º de janeiro,a companhia instalou 8.000 lâmpadas novas. Aproximadamente quantas deverão ser substituídas até 1º de fevereiro?
Solução: Para determinar quantas lâmpadas deverá ser substituídas até 1º de fevereiro,devemos calcular P(X≤31):

P(X≤31)=P(Z≤-1,27)=0,1020.
Deverão ser substituídas (0 ,1020). (8.000)=816 lâmpadas,aproximadamente.
_______________________________________________________

Distribuição Binomial

Autores: Adilson, Janaina, Roberta, Carlos Castelo, Landsteiner

Distribuição binomial

Definições:

A distribuição binomial verifica as seguintes condições:1. A experiência tem um nº fixo de provas, n.2. As provas são independentes. (O resultado de uma prova não afecta probabilidade de ocorrência das restantes.)3. Cada prova origina um de dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.4. A probabilidade de sucesso, denotada por p, é constante em cada prova.

Notação para a Distribuição Binomial

n denota o nº de provas (valor fixo à partida).

x denota um nº específico de sucessos em n provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e n, inclusive.

p denota a probabilidade de sucesso em cada uma das n provas.

q denota a probabilidade de insucesso em cada uma das n provas.

P(x) denota a probabilidade de obter exactamente xsucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).

Fórmulas da Probabilidade na Distribuição Binomial

P(X=x)= [n!/x!(n-x)!].p^x.q^(n-x) para x = 0, 1, 2, . . ., n ou

onde:

n = nº de provas

x = nº de sucessos nas n provas

p = probabilidade de sucesso em cada prova

q = probabilidade de insucesso em cada prova (q = 1 – p)

Média μ = n • p

Variância s^2 = n • p • (1-p)

Desvio Padrão s = n • p • (1-p) (raíz quadrada)

onde:

n = nº de provas

p = probabilidade de sucesso em cada uma das n provas

q = probabilidade de insucesso em cada uma das n provas

Utilização

A distribuição poderá ser empregada na determinação da probabilidade quando no evento especificado se deseja calcular a probabilidade de uma acontecimento composto estabelecido por vários eventos. Neste caso, os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes e a ordem dos eventos, dentro do acontecimento, não influencia o cálculo da probabilidade. Em muitas outra situações é necessário a reposição dos dados, para que se possa usar a distribuição binomial ou multinomial.

Conceito

Entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binômio (ou multinômio) correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio (ou multinômio) é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências.

Ilustração:

Por exemplo: temos um escritório de contabilidade para exemplificar será considerado o exemplo de conquista de novos clientes, considerando três conquistas. A probabilidade de sair um cliente péssimo(em situação financeira)é igual a S (S = ¾) e a probabilidade de encontrar um cliente ótimo( em situação financeira) é igual a C (C = ¼). Assim, tem-se as seguintes situações;

A seqüência O³ + 3O²P + 3OP² + P³ tem dois significados:

a) Cada elemento corresponde a uma probabilidade de um evento do espaço amostral. Sendo probabilidade, se verifica:

O³ + 3O²P + 3OP² + P³ = 1

b) Corresponde a expansão do binômio:

(O + P)³ = O³ + 3O²P + 3OP² + P³ = 1

Considere um experimento realizado vezes, sob as mesmas condições, com as seguintes características:

1. Cada repetição do experimento (ou ensaio) produz um de dois resultados possíveis, denominados tecnicamente por sucesso (S) ou fracasso (F), ie os resultados são dicotômicos.

2. A probabilidade de sucesso, P(S)=p , é a mesma em cada repetição do experimento. (Note que P(F)=1-p ).

3. Os ensaios são independentes, ie o resultado de um ensaio não interfere no resultado do outro.

As quantidades n e p são os parâmetros da distribuição binomial. O número total de sucessos é X uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p e é por denotada X~B(n,p) .

A probabilidade de X=x , pode ser encontrada como:

A média de um variável aleatória binomial é np e a variância é np(1-p) .

Para melhor entendimento considere o seguinte exemplo:

Suponha que num pedigree humano envolvendo albinismo (o qual é recessivo), nós encontremos um casamento no qual sabe-se que ambos os parceiros são heterozigotos para o gene albino. De acordo com a teoria Mendeliana, a probabilidade de que um filho desse casal seja albino é um quarto. (Então a probabilidade de não ser albino é 3/4)

Agora considere o mesmo casal com 2 crianças. A chance de que ambas sejam albinas é:

Da mesma forma, a chance de ambas serem normais é :

Portanto, a probabilidade de que somente uma seja um albina deve ser:

Alternativamente, poderiamos ter usado a formula acima definindo como variável aleatória X o número de crianças albinas, com n=2, p=1/4 e estariamos interessados em P(X=1)

Se agora considerarmos a família com n=5 crianças, as probabilidades de existam x=0,1,2...,5 crianças albinas, em que a probabilidade de albinismo é p=1/4 , são dadas por

as quais ficam como segue:

O número esperado (ou média) de crianças albinas em famílias com 5 crianças para casais heterozigotos para o gene albino é

Distribuição de Frequência usando o Excel

Autores: Luciano, Cristiano, Edney, Renne, Jairo

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA USANDO EXCEL


Conceito

A distribuição de frenquência é o número de repetições de um determinado valor de uma variável. Sendo uma função formada pelos valores da variável e suas respectivas frenquências.

Usando o Excel para se trabalhar com estatística, ensina e explica as análises dos resultados através de exemplos resolvidos com os tradicionais cálculos e o Excel.

A utilização do Excel facilita, reduz os cálculos e também realiza resultados exatos.

Exemplo

O gerente do departamento de uma empresa de comércio de roupas, quer analisar o número diário de vendas realizadas nos últimos dois anos por um vendedor de sua empresa. Na tabela a seguir, foi registrada uma amostra probabilística simples de tamanho 26 e extraída das vendas realizadas pelo vendedor B nos ultimos dois anos.

Aplicação

Veja a seguir, como construir a tabela de frequência de número de vendas realizadas por dia pelo vendedor B utilizando a função FRENQUÊNCIA do Excel.

A amostra do número de vendas realizadas por dia foi registrada no intervalo B4:B29 da planilha Função Frenquência. Para a construção da tabela de frequência, serão utilizados os valores do número de vendas realizadas por dia em ordem crescente: 11,12,13,14,15,16 e 17.

Esses valores foram registrados no intervalo D4:D10. Nas descrição, foi visto que função FRENQUÊNCIA, retornará a tabela de distribuição de frequência apresentada como matriz coluna.

Para trabalhar com registros em forma de matriz, devemos proceder desta forma:

• Posicionar o mouse na célula E4 e selecionar o intervalo E4:E11. Observe que o intervalo selecionado contém uma linha a mais do que o intervalo em que estão registrado os valores do argumento a matriz_bin, intervalo D4:D10.

• A seguir, digite a fórmula =frequencia(B4:B29;D4:D10) sem pressionar a tecla ENTER, como mostra a figura anterior. Note que o nome da função foi inserido com letras minúsculas e sem os acentos ortográficos, pois felizmente o Excel aceitará e registrará a função com letras maiúsculas e com os acentos ortográficos.

• Para inserir essa função como matriz, pressione simultaneamente as três teclas Ctrl + Shift + Enter. Mantendo pressionada a tecla Ctrl, pressione e mantenha pressionada a tecla Shift e por último, pressione a tecla Enter. Depois de pressionar as três teclas simultaneamente, obtemos os resultados apresentados na próxima figura, na qual as fórmulas receberam as chaves {}. Você pode usar esse procedimento se utilizar o assistente do Excel Colar Função.

Podemos notar que as fórmulas do intervalo E4:E11 são todas iguais a {=FREQUÊNCIA(B4:B29;D4:D10)}, sendo que as chaves {} indicam que as fórmulas fazem parte da mesma matriz. Por último, o valor zero na célula E11 informa que nenhum dos valores da variável deixou de ser classificado. De outra maneira, o objetivo da última célula E11 é informar quantos valores da variável não foram classificados.

Referências

Livro: Estatística usando Excel

Autor: LAPPONI, Juan Carlos

Editora: CAMPUS

Introdução à Probabilidade

Autores: Diana, Rita de Cássia, Sonia, Thiago

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

A probabilidade teve origem aproximadamente no século XVI e se aplicava inicialmente em jogos de azar, onde os jogadores ricos tinham mais conhecimento sobre as teorias de probabilidade e planeavam estratégias para levar vantagens nos jogos. Ainda hoje essa prática é utilizada, como em lotearias, cassinos de jogo, corridas de cavalos e esportes organizados. Mais do que isso, a probabilidade é utilizada por governos, empresas e organizações profissionais em seus processos diários de deliberação.
A utilização da probabilidade indica que existe um elemento de acaso ou incerto de ocorrer ou não um evento futuro. Na probabilidade não se pode afirmar o que ocorrerá, mas sim o que pode ocorrer.
Vamos supor que se jogarmos uma moeda para o ar, não podemos afirmar com certeza se vai dar cara ou coroa, mas através de uma determinada combinação de julgamento e experimentos é possível dizer quais as chances (probabilidade) de ocorrer um evento futuro.
A probabilidade proporciona muitas vantagens no dia dia, pois são extremamente úteis para o desenvolvimento de estratégias. Ela obtém, organiza e analisa dados estatísticos com a finalidade de descrever e explicar tais dados e determinar possíveis correlações e nexos-causais.

A IMPORTÂNCIA DA PROBABILIDADE

Meteorologia: É pouco provável que chova durante esta semana.

Seguros: Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?

Jogos: Porque é que o Toto loto tem 49 números e não 10 ou 20?

TERMOS E CONCEITOS

A idéia geral da probabilidade é frequentemente dividida em dois conceitos relacionados:

-Aleatórias

* Lançamento de uma moeda

* Lançamento de um dado

* Toto loto

* Estado do tempo para a semana

* Extração de uma carta

* Tempo que uma lâmpada irá durar

À partida não sabemos o resultado

-Deterministas

* Furar um balão cheio

* Deixar cair um prego num copo de água

* Calcular a área de quadrado de lado 9 cm

À partida já conhecemos o resultado

Experimento Probabilístico:

É uma ação ou um ensaio por meio do qual os resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. A consequência de um único ensaio em um experimento probabilístico é um resultado (ponto amostral).

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral. Um evento consiste em um ou mais resultados e é um subconjunto do espaço amostral.

Evento:

Os eventos são freqüentemente representados por letras maiúsculas, tais com A, B, C. Um evento que consiste em um único resultado é chamado de evento simples. Por exemplo: se você determinar o tipo sanguíneo de uma amostra, evento simples A será "o sangue tipo A". Em contrate, o evento E será "o sangue não tipo A" e não será simples, pois consultará em três outros resultados possíveis {B, AB , O}

TIPOS DE PROBABILIDADE

A Probabilidade Clássica (ou teórica): é usada quando cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer. A probabilidade clássica para um evento E é dada por:

Nº resultado em E

P(E) = _________________

Nº total de resultados no espaço amostral

A Probabilidade Empírica (ou estatística): baseia-se em observações obtidas de experimentos probabilísticas. A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa deste evento.

frequência do evento E f

P(E) = __________________ = ___________

frequência total n

A probabilidade subjetiva resulta de instituição, estimativa ou de um "palpite bem fundamentado"

Experimento Probabilístico:

Jogar um dado de seis faces

Espaço amostral:

{1,2,3,4,5,6}

Evento

Jogar um número par {2,4,6}

Resultado:

Jogar um 2 {2}

Espaço de Resultados ou Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota}

EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Toto loto

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3,... ,47, 48, 49 }

Acontecimentos: Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Acontecimento A: “Sair um nº par”

A = {2, 4, 6 }

Acontecimento B: “Sair um nº maior que 2”

B = { 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

* ELEMENTAR

A: “ Sair o nº 3 ”

A={ 3 }

Só tem um elemento

* COMPOSTO

B: “ Sair o nº ímpar ”

B={ 1, 3, 5 }

Tem mais do que um elemento.

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa

Espaço Amostral = S = { R, T, D, P }

IMPOSSÍVEL

“ Sair a letra X ” ;

PROVÁVEL

“ Sair uma consoante ”

CERTO

“ Sair a letra T ”

ATRIBUIÇÃO DAS PROBABILIDADES

Uma importante questão é a atribuição das probabilidades aos elementos do espaço amostral. Duas abordagens são comuns: atribuição a priori e a posteriori.

A priori :Considere um espaço amostral com n eventos elementares

Ω = { A1,A2....An}

Caso não haja justificativas para atribuir maior probabilidade a um determinado ponto, é natural imaginar que as chances estão igualmente distribuídas nestes n eventos e, portanto:

P(A i) = 1/n

para i=1,2,…,n.

A atribuição de probabilidades a priori é feita quando se há conhecimento sobre as características físicas do experimento, como por exemplo, no lançamento da moeda e do dado. Por outro lado, se não há conhecimento sobre as chances dos eventos no espaço amostral, as probabilidades são atribuídas depois de repetidas observações do fenômeno aleatório.

Exemplo: Ao lançar um dado e observar o resultado obtido na face superior, as características físicas do experimento nos levam a atribuir probabilidades do seguinte modo:

Ω = { 1,2,3,4,5,6}

P(Ai) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = P(A5) = P(A6) = 1/6

E nesta situação, as probabilidades são atribuídas a priori.

A posteriori: Quando não há conhecimento a priori das probabilidades, elas podem ser atribuídas através da experimentação.

Exemplo: Seja a inspeção de peças em um processo de fabricação e os seguintes eventos A={Peça Defeituosa} e B ={Peça Perfeita}. Após inspecionar 1000 peças, verificou-se que 450 eram defeituosas. A partir deste experimento, ao selecionar aleatoriamente uma peça, pode-se atribuir as seguintes probabilidades:

P(A) = 450/1000 = 0,45

P(B) = 550/1000 = 0,55

TÉCNICAS DE CONTAGEM

Para utilizar o método é preciso conhecer o numero total de resultados possíveis de um experimento.

Ex: um aluno está fazendo um teste de 20 questões do tipo “V” ou “F”, não tendo estudado nada, qual seria a probabilidade de ele responder corretamente todo o teste?

Todas as questões poderiam ser V, todas F, alternar V ou F, ou misturar aleatoriamente V e F.

As probabilidades então de V ou F, se houver duas questões serão: VV, VF, FV, FF. No caso de três questões seria: VVV, VVF, VFF, VFV, FVV, FFV, FFF.

Número de questões: 1 2 3 4

Numero de resultados: 2 4 8 16

REFERÊNCIAS:

LARSON, Ron & FARBER, Betsy. Estatística Aplicada. São Paulo. 2ª Ed., 2004.

STEVENSON, William J. Estatística aplicada à Administração. São Paulo1ª Ed. 1981.

Acesso ao site: http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade na data de 01/06/2009