Introdução à Probabilidade

Autores: Diana, Rita de Cássia, Sonia, Thiago

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

A probabilidade teve origem aproximadamente no século XVI e se aplicava inicialmente em jogos de azar, onde os jogadores ricos tinham mais conhecimento sobre as teorias de probabilidade e planeavam estratégias para levar vantagens nos jogos. Ainda hoje essa prática é utilizada, como em lotearias, cassinos de jogo, corridas de cavalos e esportes organizados. Mais do que isso, a probabilidade é utilizada por governos, empresas e organizações profissionais em seus processos diários de deliberação.
A utilização da probabilidade indica que existe um elemento de acaso ou incerto de ocorrer ou não um evento futuro. Na probabilidade não se pode afirmar o que ocorrerá, mas sim o que pode ocorrer.
Vamos supor que se jogarmos uma moeda para o ar, não podemos afirmar com certeza se vai dar cara ou coroa, mas através de uma determinada combinação de julgamento e experimentos é possível dizer quais as chances (probabilidade) de ocorrer um evento futuro.
A probabilidade proporciona muitas vantagens no dia dia, pois são extremamente úteis para o desenvolvimento de estratégias. Ela obtém, organiza e analisa dados estatísticos com a finalidade de descrever e explicar tais dados e determinar possíveis correlações e nexos-causais.

A IMPORTÂNCIA DA PROBABILIDADE

Meteorologia: É pouco provável que chova durante esta semana.

Seguros: Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?

Jogos: Porque é que o Toto loto tem 49 números e não 10 ou 20?

TERMOS E CONCEITOS

A idéia geral da probabilidade é frequentemente dividida em dois conceitos relacionados:

-Aleatórias

* Lançamento de uma moeda

* Lançamento de um dado

* Toto loto

* Estado do tempo para a semana

* Extração de uma carta

* Tempo que uma lâmpada irá durar

À partida não sabemos o resultado

-Deterministas

* Furar um balão cheio

* Deixar cair um prego num copo de água

* Calcular a área de quadrado de lado 9 cm

À partida já conhecemos o resultado

Experimento Probabilístico:

É uma ação ou um ensaio por meio do qual os resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. A consequência de um único ensaio em um experimento probabilístico é um resultado (ponto amostral).

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral. Um evento consiste em um ou mais resultados e é um subconjunto do espaço amostral.

Evento:

Os eventos são freqüentemente representados por letras maiúsculas, tais com A, B, C. Um evento que consiste em um único resultado é chamado de evento simples. Por exemplo: se você determinar o tipo sanguíneo de uma amostra, evento simples A será "o sangue tipo A". Em contrate, o evento E será "o sangue não tipo A" e não será simples, pois consultará em três outros resultados possíveis {B, AB , O}

TIPOS DE PROBABILIDADE

A Probabilidade Clássica (ou teórica): é usada quando cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer. A probabilidade clássica para um evento E é dada por:

Nº resultado em E

P(E) = _________________

Nº total de resultados no espaço amostral

A Probabilidade Empírica (ou estatística): baseia-se em observações obtidas de experimentos probabilísticas. A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa deste evento.

frequência do evento E f

P(E) = __________________ = ___________

frequência total n

A probabilidade subjetiva resulta de instituição, estimativa ou de um "palpite bem fundamentado"

Experimento Probabilístico:

Jogar um dado de seis faces

Espaço amostral:

{1,2,3,4,5,6}

Evento

Jogar um número par {2,4,6}

Resultado:

Jogar um 2 {2}

Espaço de Resultados ou Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota}

EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Toto loto

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3,... ,47, 48, 49 }

Acontecimentos: Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Acontecimento A: “Sair um nº par”

A = {2, 4, 6 }

Acontecimento B: “Sair um nº maior que 2”

B = { 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

* ELEMENTAR

A: “ Sair o nº 3 ”

A={ 3 }

Só tem um elemento

* COMPOSTO

B: “ Sair o nº ímpar ”

B={ 1, 3, 5 }

Tem mais do que um elemento.

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa

Espaço Amostral = S = { R, T, D, P }

IMPOSSÍVEL

“ Sair a letra X ” ;

PROVÁVEL

“ Sair uma consoante ”

CERTO

“ Sair a letra T ”

ATRIBUIÇÃO DAS PROBABILIDADES

Uma importante questão é a atribuição das probabilidades aos elementos do espaço amostral. Duas abordagens são comuns: atribuição a priori e a posteriori.

A priori :Considere um espaço amostral com n eventos elementares

Ω = { A1,A2....An}

Caso não haja justificativas para atribuir maior probabilidade a um determinado ponto, é natural imaginar que as chances estão igualmente distribuídas nestes n eventos e, portanto:

P(A i) = 1/n

para i=1,2,…,n.

A atribuição de probabilidades a priori é feita quando se há conhecimento sobre as características físicas do experimento, como por exemplo, no lançamento da moeda e do dado. Por outro lado, se não há conhecimento sobre as chances dos eventos no espaço amostral, as probabilidades são atribuídas depois de repetidas observações do fenômeno aleatório.

Exemplo: Ao lançar um dado e observar o resultado obtido na face superior, as características físicas do experimento nos levam a atribuir probabilidades do seguinte modo:

Ω = { 1,2,3,4,5,6}

P(Ai) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = P(A5) = P(A6) = 1/6

E nesta situação, as probabilidades são atribuídas a priori.

A posteriori: Quando não há conhecimento a priori das probabilidades, elas podem ser atribuídas através da experimentação.

Exemplo: Seja a inspeção de peças em um processo de fabricação e os seguintes eventos A={Peça Defeituosa} e B ={Peça Perfeita}. Após inspecionar 1000 peças, verificou-se que 450 eram defeituosas. A partir deste experimento, ao selecionar aleatoriamente uma peça, pode-se atribuir as seguintes probabilidades:

P(A) = 450/1000 = 0,45

P(B) = 550/1000 = 0,55

TÉCNICAS DE CONTAGEM

Para utilizar o método é preciso conhecer o numero total de resultados possíveis de um experimento.

Ex: um aluno está fazendo um teste de 20 questões do tipo “V” ou “F”, não tendo estudado nada, qual seria a probabilidade de ele responder corretamente todo o teste?

Todas as questões poderiam ser V, todas F, alternar V ou F, ou misturar aleatoriamente V e F.

As probabilidades então de V ou F, se houver duas questões serão: VV, VF, FV, FF. No caso de três questões seria: VVV, VVF, VFF, VFV, FVV, FFV, FFF.

Número de questões: 1 2 3 4

Numero de resultados: 2 4 8 16

REFERÊNCIAS:

LARSON, Ron & FARBER, Betsy. Estatística Aplicada. São Paulo. 2ª Ed., 2004.

STEVENSON, William J. Estatística aplicada à Administração. São Paulo1ª Ed. 1981.

Acesso ao site: http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade na data de 01/06/2009