Distribuição Hipergeométrica

Autores: Ana Paula, Adeildo, Márcia, Milene

CONCEITO

A Função Hipergeométrica de probabilidade é usada para calcular a probabilidade de que em uma amostra aleatória de n elementos, selecionados sem substituição , obtêm-se k elementos rotulados de sucesso e n-k elentos rotulados de fracasso.Para que isso ocorra, precisa-se obter k sucessos a partir dos r sucessos na população e n-k fracassos a partir dos N - r fracassos.
A Função Hipergeométrica de probabilidade fornece f(x), a probabilidade de se obter x sucessos em uma amostra de tamanho n, onde os ensaios não são independentes e a probabilidade de sucesso muda de ensaio para ensaio. (Anderson,David R.Estatística aplicada à Administração e Economia p.205).


Para ilustrar, considere uma população de N objetos, r dos quais têm o atributo A e N- r têm o atributo B. Um grupo de k elementos é escolhido ao acaso, sem reposição. Estamos interessados em calcular a probabilidade de que esse grupo contenha x elementos com o atributo A. Pode-se ver facilmente, utilizando o princípio multiplicativo, que essa probabilidade é dada por, onde 0 ≤ k ≤ min ( r,n).

Exemplo: Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens são examinados. O número de itens com defeito (atributo A), r, é desconhecido, colhemos uma amostra de n itens e determinamos k. Somente para ilustrar, suponha que num lote de N=100 peças, r=10 sejam defeituosas.
Escolhendo n=5 peças sem reposição, a probabilidade de não se obter peças defeituosas é:

Enquanto a probabilidade de se obter pelo menos uma defeituosa é,
P1 + p2+.......+p5= 1-p0 ≈ 0,426

Pode-se demonstrar que a variável aleatória X definida acima tem esperança ( valor esperado) e variância dadas por;

Respectivamente, onde p = r/N é a probabilidade de se obter uma peça defeituosa numa única extração. Se N for grande, quando comparado com n, então extrações com ou sem reposição serão praticamente equivalentes, de modo que as probabilidades dadas por:

serão aproximadamente iguais às dadas pela fórmula :

Do mesmo modo, os resultados E(x)= np e Var (x)= np (1-p) (N- n)/(N-1)

Consideremos agora o problema de se determinar a probabilidade de ocorrência de exatamente três cartas vermelhas em cinco extrações de um baralho comum, sem reposição.
Como a carta extraída não volta ao baralho, a probabilidade de aparecer carta vermelha se modifica de uma extração para outra. Para resolver o problema, basta notar que extrair cinco cartas de um baralho, uma após outra, sem reposição, equivale a extrair aleatoriamente as cinco cartas de uma vez.
Então, se um baralho comum tem 26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas, a presença de três cartas vermelhas em cinco extrações exige que as outras duas cartas extraídas sejam pretas.

duas cartas pretas de um baralho comum. Essas possibilidades dão um total de (26/3)(26/2) casos favoráveis( princípio fundamental da contagem). Por outro lado, podemos extrair cinco cartas de um baralho de 52 cartas de (52/5)maneiras distintas ( casos possíveis).

Então, a probabilidade procurada é,

A distribuição hipergeométrica é usada na construção de planos de inspeção por amostragem, em que, de acordo com os resultados da análise de uma amostra de peças, fazemos inferências sobre a qualidade de todo o lote. (MORETTI, Pedro A. Estatística Básica. 5ª Ed.2006. Editora Saraiva)

Média e Variância

A média e a variância da distribuição hipergeométrica são:

Note-se a analogia com a média e a variância da binomial. Além disso, quando n é muito pequeno em relação a N, a fração (N – n / N – 1 ) tende para 1 e σ² tende para npq, variância da binomial.

EXEMPLO:

1. Deve-se construir um comitê de quatro pessoas escolhidas entre três químicos e cinco físicos. Determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no comitê.

Solução:
Seja X a variável aleatória “ número de químicos no comitê “: